Уже давно вошли в наши семейные легенды те времена, когда я объясняла своей дочке переполнение разрядов с помощью мышек (ну а как их еще объяснить ребенку в 6 лет, у которого еще не в полной мере развилось абстрактное мышление, а школа считает, что пора! ).
После мышек было еще много такого фольклора, из которого наверное уже что-то и не вспомню – объяснение с помощью плюшевого питона, что такое периметр прямоугольника (в виде его частного случая – подушки). Как по косточкам на руке запомнить, сколько дней в каждом месяце. На разноцветных фигурках лего изучаем ratio (отношение). На чашечках с бусинками смотрим, как изменяется среднее арифметическое при добавлении еще одной чашки. На карандашах показываю, почему в равнобедренном треугольнике не могут быть у основания разные углы. Линия симметрии – ну ведь это фигура просто “смотрится в зеркало” на свое отражение (особенно радуются девочки такому объяснению :) ). И прочее, прочее. Приятно, когда некоторые дети после пробного урока со мной говорили своим мамам, что это был лучший урок математики в их жизни :).
А вот с недавних пор я в шутку говорю, что скоро сделаю группу “математика для мам”. Поскольку некоторых осознанных мам немного смущает, что их дети после занятий знают то, чего не знают сами мамы :). Конечно, по желанию, я с удовольствием устраняю этот пробел – прямо на пороге, объясняя математические понятия буквально на пальцах. И могу сказать, что уровень знания пропорций и процентов среди мам нашего района пусть в пределах статистической погрешности незначительно, но повысился :).
Недавно я пришла в гости к маме Никиной подружки (со старшей дочерью которой я занимаюсь математикой) поговорить про то, что у ее 13-летней дочери феноменальные способности производить арифметические вычисления в голове, но совершенно отсутствует понимание неизвестных, уравнений и прочих абстракций. И тут у мамы округляются глаза “у меня ведь то же самое было всю жизнь! Я еще со школьных времен так и не поняла, что такое X“. Я посмотрела вокруг – мы сидели с ней в комнате, за круглым столом. Ну, я и попробовала объяснить: представь, все стулья за твоим столом уже заняты кем-то (числами – ну, то есть людьми), а один стул свободный – туда может прийти и сесть любой человек. Вот это и есть переменная. Она обрадовалась… Но радость ее была не долгой “а как же быть с уравнением прямой, там где есть и икс, и игрек? Меня дочка спросила и я не смогла объяснить“. Ну, представь, что теперь два стула свободны. У тебя семейный ужин. На первый (х) по-прежнему может сесть любой человек. Например, я. Но если туда сяду я, то на второй стул может сесть только мой муж. Но с другой стороны, если на мой стул вместо меня сядет другая твоя подруга, на второй стул сядет уже ее муж, а не мой. То есть на эти стулья могут сесть разные люди, но они между собой образуют пару. Вот так и пары координат X и Y на уравнении прямой.
Чуть позже, ее дочке, которая даже после трех уроков не могла понять, как проверить, принадлежит ли точка заданной прямой, я сказала так: смотри, на Земле живет много людей (и нарисовала их большим количеством точек на координатной плоскости). Но из них входят в твою семью (и я рисую линию) только лишь те, которые имеют общую фамилию и родословную, как у тебя (то есть те точки, которые удовлетворяют заданному уравнению прямой). Вот эта “семья” и есть прямая.
Вообще, приходится доучиваться на лету, как учить детей с особенностями (и не трудно догадаться, что таких учеников если и не большинство, то много – т.к. дети, которым даётся математика легко, как правило к репетитору не приходят) – для одной ученицы я купила игрушечные весы с гирьками, которые можно навешивать с обоих сторон – чтобы объяснять решение уравнений (перенос в другую часть уравнения, сохранение равенства и т.д.). Для другой написала на карточках в разных цветах “y”, “=”, “x”, “+” и т.д. и из них мы складывали уравнение и подставляли значения вместо икс-игрек.
И конечно объяснения зависят от возраста. Чем младше, тем веселее :). Юному поколению объясняю порядок выполнения операций. В Англии для этого изобрели какую-то страшную аббревиатуру BIDMAS (Brackets, Indices, Division, Multiplication, Addition, Subtraction), но “баба яга против” бессмысленного запоминания заклятий (мы ж не в Хогвартсе учимся, в конце концов! :) ). Думаю, мало кто из учеников будет нервно вспоминать порядок букв в этом магическом наборе, решая реальные уравнения. Тем более, что эта аббревиатура противоречива: например, здесь сложение идёт перед вычитанием, что может интерпретироваться, как то, что сложение надо выполнять первым, и как следствие получить совершенно не верный ответ (например, в примере 9 – 2 +3 ). То же самое по поводу деления/умножения. Поэтому в очередной раз пришлось изобрести свой небольшой если не велосипед, то как минимум самокат, чтобы объяснять англоязычным детям истину, которую знал любой ребенок в моем детстве. Поскольку объяснение было для 9-летней девочки, которая любит розовое, принцесс и единорогов, оно выглядело так: представь, что когда ты заходишь во дворец, сначала здороваешься с королем и королевой, а потом с придворными. Вот умножение и деление это “король и королева” (умножение даже выглядит как воротничок короля, да и деление вполне себе нечего – даже попытались с ней немного дорисовать на них короля-королеву), а придворные – минус с плюсом. Но если кто-то находится в отдельной комнате (в скобках), то начинать “здороваться” надо с них :).
Сколько я пицц нарисовала для объяснения дробей, наверное уже не сосчитать (ну или пирогов – для тех, кто не любит пиццы :) ). Чаще всего дети поначалу суеверно боятся слова “процент”, это наверное почти самое страшное (после ratio и иксов), что есть в начальной школе. Я сразу рассказываю, что бояться процентов надо не больше, чем сантиметров, столетий (century), одноцентовых монет и прочего однокоренного с латинским словом “per centum” – то есть происходящих от числа 100. А процент – это просто вот такая особенная дробь 1/100, одна сотая часть чего-то, и ничего больше. По-английски “процент” звучит еще более красноречиво: per-cent, поэтому дети как-то сразу мне верят :).
И раз уж мы вспоминаем про 100 и однокоренные слова, тут же запоминаем, что в римских цифрах С (как в слове century) = 100 (в Англии ооочень любят римские цифры, расшифровывать их в обе стороны – обязательная часть любого экзамена). Ну и к римским цифрам M – слово millennium (тысячелетие), и кстати миля тоже (у римлян это была “тысяча двойных шагов”). Римляне считали так: один палец I, два пальца, и т.д. Потом 5 – это угол, образованный большим и указательным пальцем (V), перекрещенные V на двух руках – дают X (ну и также можно заметить, что X это как будто две склеенные буквы V). Ну а остальные запоминаются мнемонически “Lucy Cat Drinks Milk” (L=50, C=100, D=500, M=1000) – хоть обычно я и против зазубривания в математике чего бы то ни было, но это тот редкий случай, когда приходится (т.к. адекватного понятного для ребенка объяснения, почему L это 50, и D это 500, я так и не нашла).
Ну, и наверное второй случай, когда всё-таки приходится запоминать – это формула площади круга, т.к. проходят они ее здесь гораздо раньше, чем смогут понять вывод этой формулы.
Но вообще в английской школе, увы, очень много построено на зазубривании, а не на понимании, даже в таком логичном предмете как математика. Например, для того, чтобы запомнить, как делить дроби, тут придумана целая считалочка (которую я честно не помню, так как обычно учу детей этому искусству “старыми дедовскими методами”). Формулу вычисления процентов – тоже заучивают как мантру. Я чуть не упала со стула, когда одна девочка из средней школы пришла и грустно сообщила мне, что им до пятницы надо зазубрить в школе десять формул площадей поверхности разных трехмерных фигур. Когда я сказала, что зазубривать их не надо, а надо понимать, как они образуются, и что я, например, навскидку не скажу ей ни одной формулы площади поверхности (хотя при этом могу посчитать любую :) ), она посмотрела на меня с недоверием :). Я нашла картонную коробку из-под салфеток и мы прямо на ней измеряли и записывали площадь каждой из сторон. Потом вокруг стакана оборачивали салфетку, пока она не поняла, что такое площадь поверхности цилиндра.
Попутно показала ей, что такое число Пи, и что вообще-то формулу длины окружности тоже учить не надо – она ведь просто следствие из определения самого числа Пи. Это то, что мы делаем со всеми учениками, как только впервые у нас звучат слова “длина окружности” – мы измерили с ней ниткой длину вокруг чашки, потом поперек ее диаметр, поделили первое на второе, ну и собственно всё :). Я посоветовала ей на всякий случай не доверять на слово Архимеду, а в качестве домашнего задания пойти и измерить отношение длины окружности к диаметру разных круглых предметов в ее доме, и сравнить потом полученные значения – вдруг ей посчастливится открыть новую доселе неведомую закономерность (о том, что по математике не дают Нобелевских премий, я пока предусмотрительно умолчала :) ).
Неметрические меры длины – так как Англия не далеко ушла от неметрической системы (здесь до сих пор в ходу пинты, мили, фунты, галлоны), то без неметрических мер длины тоже не обойдется ни один экзамен. Когда я начала учить этому еще своих детей, я сама запуталась окончательно и ничего запомнить не смогла, не говоря уже о том, чтобы научить их. Тогда я сделала свою собственную визуальную табличку для запоминания: дюйм – длина верхней фаланги большого пальца. Фут – длина ступни (ну, полагаю, что ступни крупного римского воина, 30см, но всё же :) . Ярд – расстояние от кончика носа до пальцев вытянутой руки (чуть меньше метра). Миля – “тысяча двойных шагов” (опять же, шагов римских воинов, у которых “двойной шаг” был больше полутора метров). Унция – вес ломтя хлеба. Фунт – вес буханки хлеба (чуть меньше пол-кило). Пинта – ну, это вообще учить не надо, все в Англии знают, что такое пинта (маленькие девочки-мальчики знают, что маленькая пластмассовая бутылка молока это пинта, а большим мальчикам и объяснять не надо, что такое “пинта пива” :)) ).
Вообще, у меня девиз, который знают уже все дети, которых я учу – “если не понятно – рисуй“. И потом мамы удивляются, увидев хомячков и котиков на черновиках (а это мы просто ratio зверей в зооуголке изучали :) ). Однажды Сережа, проходя мимо нас с Никой, на всякий случай уточнил “а вы точно математикой сейчас занимаетесь?“, глядя, как на доске появился колобок, лес и его обитатели:). Конечно, в 11 лет уже не так важны все эти шутки-прибаутки, но с ними веселее и интереснее – скучный урок сразу превращается в захватывающую историю. Это я всего лишь объясняла дочке двойные проценты. Жил-был колобок, которого звали Х. Пошел он в лес и от него лиса откусила 15% (в противоположность классической сказке, у этой лисы была сбалансированная диета, и она ела не только углеводы, поэтому целиком колобка не съела :) ). Но потом он пошел к мудрой сове, она дала ему супер-калорийное снадобье, от которого у любого, кто его выпьет, отрастает 20% нового теста. На сколько процентов стал больше колобок, чем был изначально? (ну и вариации сказки, в более грустном и жизненном варианте: жил-был крот, как-то пошел он в гости к белочке, объелся у нее пирожков с грибами, потолстел на 5%, так что не смог влезть ни в одни джинсы обратно в нору. Пошел тогда он в подземный спортзал и решил посчитать, сколько ему теперь надо скинуть % от нового веса, чтобы снова поместиться в нору :) )
После процентов и пропорций, пожалуй, детей больше всего удручают word problems (словесные задачи) – часто на этом моменте открываются врата ада (примерно в этот же момент обычно мама ребенка произносит что-то вроде “у моего ребенка все хорошо с математикой, вот только word problems надо немного подтянуть“, что в реальности означает… что ребенок, натренированный какой-нибудь модной японской системой Кумон, легко умножающий трехзначные числа и даже свободно берущий проценты, до сих пор не понимает, что вообще такое умножение и соответственно перевести слова в математические действия принципиально не может! И надо не просто “немного подтянуть решение словесных задач”, а возвращаться к основам и рассказывать с самого начала 10-летнему ребенку про то, что такое умножение/деление и где оно встречается в жизни.
Но всё же чаще проблема в другом – словесные задачи бывают реально даже не столько сложными, но очень запутанные и надоедливыми, от чего я сама порой теряю терпение :). Например “Фермер решил посадить морковку в 12 рядов, между каждыми рядами была бороздка в 20см, а по периметру бороздки шла дорожка шириной 10см, а расстояние между кустиками морковками было 8см, но еще он оставил 15см расстояния от каждого края поля, внутри которого проложил тропинку шириной 10см, а еще был забор шириной 10см” и т.д. Я обычно на таком просто перелистываю страницу, мне не интересно вникать во весь этот сельскохозяйственный фольклор, я люблю логические задачи на подумать, а не на взрыв мозга :) (ну, я-то себе могу это позволить, я сама выбираю “свои битвы”, а вот ученикам в школе сочувствую – им регулярно приходится прорешивать подобное, и в больших количествах – так что я даже не могу их винить, когда они потом приходят ко мне и с порога объявляют “я не люблю математику!” – хочется им ответить, я бы тоже ее не любила, если бы весь день решала вот это всё :). А вслух я обычно философствую “ну, утверждать ‘я не люблю математику’ это все равно, что сказать ‘я не люблю еду’ – в математике столько разных областей, от геометрии и алгебры до статистики и анализа данных, что невозможно не любить всё это сразу” :) Да и часто “не люблю” переводится как “сложно”, “не понял какую-то тему”, “страшно сделать ошибку”, “не повезло с учителем” ). Но, конечно, далеко не все словесные задачи в местных учебниках такие, и даже если и такие – я учу во время решения быть “переводчиком” с английского языка на язык математики (у одной ученицы мама как раз-таки лингвист-переводчик, поэтому ей очень хорошо зашла такая аналогия :) .
Еще один метод, который не явно, но очень настойчиво прививает английская начальная школа – метод перебора. Не то, чтобы этому как-то специально учат, но часто детям просто не оставляют другого выбора – когда, например, “сильным” детям в конце урока дают задачку со звёздочкой “на подумать” (пока учитель занимается со всеми остальными), но методы решения этой задачи им еще не известны – и часто даже после того, как они помучаются с ней сами пол-часа, им так и не объясняют, как ее все-таки надо было решать правильно (мои дети обычно приносили такие задачки домой на каком-нибудь скомканном листике тайком от учителя, и мы их с ними разбирали, но я сомневаюсь, что все дети поступают так же ). Вот в такой ситуации детям и остаётся только что изобретать свой собственный именной “велосипед”. Некоторые такие “велосипеды”, правда, довольно интересные и я с удовольствием слушаю детские рассуждения на новые для них темы (часто не понарошку удивляясь человеческой смекалке в условиях ограниченных знаний!), но все же в 90% случаев в ход идет старый добрый перебор или еще хуже – подгонка под ответ (т.к. часто в задаче надо выбрать один ответ из пяти). Самое худшее, что часто такая подгонка становится универсальным методом решения всех новых задач (и дети искренне недоумевают, что с этим методом не так, если он у них работает!). Одна девочка никак не хотела слушать, что решать задачи методом перебора – не только не научно, но и не эффективно (особенно долго она не сдавалась с ratio – пытаясь решить всё перебором, так как когда-то сама этому научилась и конечно на простых школьных задачках вроде “разделить 12 в соотношении 1:2” он работал без проблем). Тогда я ей сказала, что ее ракета не долетит до Луны, если она попытается “примерно в уме прикинуть” ее траекторию (для нее оказалось открытием, что для полетов на Луну вообще используют математику!), и вообще, кто ей обещал, что там обязательно будут красивые целые числа, которые можно подобрать? В общем, она пообещала больше не подбирать. А закрепили мы с ней эту договоренность тем, что дома ей надо было разделить $21636.48 в соотношении 2:3:7 – я умею мотивировать детей :).
Я сама люблю везде и во всем искать реальное применение знаниям (ну или хотя бы найти какую-то точку соприкосновение с реальностью), поэтому стараюсь максимально привязать всё, что мы учим,к окружающему миру (тем более, тут кроется и практический расчёт – если ребенок во время изучения новой темы померяет/посчитает/удивится/обрадуется – он запомнит эту тему надолго). Если проходим масштаб – сразу идём на гугл карты и учимся считать расстояние от школы до дома по карте. С Никой посчитали, сколько раз нам надо сходить к крану с кастрюлей, чтобы наполнить мини-бассейн водой в жаркий день (высчитав для этого объемы цилиндра кастрюли и бассейна). В магазине считаем, какую упаковку продукта купить выгоднее, или высчитываем, сколько будет новая цена с учетом скидки. Или прошу ее пересчитать пропорционально рецепт, когда мы хотим приготовить какие-нибудь маффины в количестве полтора раза больше, чем в книжке (хотя, у меня на этот случай есть шутка: самый удачный рецепт творожной запеканки я изобрела тогда, когда по ошибке не пересчитала один из ингредиентов, когда все остальные уменьшила в полтора раза – но это исключение, которое только подтверждает правило :) ). Высчитываем, сможем ли мы развернуть ее кровать на 90 градусов внутри маленькой комнаты. И сколько надо рулонов обоев, чтобы поклеить стену. И даже считаем математическое ожидание от броска трех кубиков одновременно в настольной игре :). Еще у нас в планах измерить высоту дерева по длине его тени – но то тени нет, то времени, то подходящего дерева :).
Я когда-то прочитала девиз, который мне очень понравился “Work smarter, not harder” – это был наш основной принцип во время всей этой безумной гонки вокруг экзамена 11+ (некоторые знакомые мамы реально работали всё лето со своими детьми по 10 часов в день без единого выходного!). Я сказала детям, что если когда-то создам свою школу математики или хотя бы сайт, то это и будет мой девиз. Егор сказал, что мне больше подойдёт “work smarter AND harder“, а Ника сказала, что самое лучшее для меня: “learn smarter, work harder“. На этом и остановились :).
